卡瓦列里(卡瓦列里图片)

2023-02-03 23:46:08 作者：凌空抽射

卡瓦列里的数学家

博纳文图拉·弗兰切斯科·卡瓦列里（Bonaventura Francesco Cavalieri 1598～1647）是意大利数学家，积分学先驱者之一。1598年生于米兰，1647年11月30日卒博洛尼亚。1616年在比萨修道院内潜心学习欧几里得、阿基米德、帕普斯等人的著作，后结识伽利略，在交往中颇受教益，自称是伽利略的学生。1620年到米兰圣吉罗拉莫修道院讲授神学，以渊博的知识得到好评。1623～1629年间，在洛迪和帕尔马等地担任修道院院长。他希望在大学里取得一个数学教席。后来几经周折，1629年在伽利略的大力推荐下终于如愿以偿。从1629年起任博洛尼亚大学数学教授直到去世。卡瓦列里最大的贡献是建立了祖暅原理(又名“等幂等积定理”，西方称为“卡瓦列里原理”)，依靠这个原理，他求得相当于曲线y=x的n次方下的面积，解决了很多可以用更严密的积分法解决的问题。在现代的解析几何和测度应用中，祖暅原理是富比尼定理中的一个特例。卡瓦列里没有对这条的严谨证明，只发表在1635年的《用新方法促进的连续不可分几何学》（Geometria indivisibilibus Continuorum Nova Quadam Ratione Promoat）以及1647年的《六个几何问题》（Exercitationes Geometricae）中，用以证明自己的Methode der Indivisibilien。以此方式可以计算某些立体的体积，甚至超越了阿基米德和开普勒的成绩。这个定理引发了以面积计算体积的方法并成为了积分发展的一个重要步骤。另外，他还在1627年得出了微分中值定理的几何形式，并且，他第一个得到透镜的曲率半径与焦距的关系式。

卡瓦列利原理的原理方法

卡瓦列里把平面图形看作是由平行的等距线段组成的，把立体图形看作是由彼此平行的、等距离的平面片组成的．这些线段就是平面图形的不可分量而这些平面片就是立体图形的不可分量．卡瓦列里的具体方法是先建立两个给定的几何图形的不可分量之间的一一对应关系，并且设法使对应的不可分量具有某种不变的比例，当其中一个图形的面积或体积已求出时，就可用卡瓦列里原理求出另一个图形的面积或体积．

利用不可分量方法，卡瓦列里解决的典型问题是有关平行四边形中线段和组成它的三角形中的线段关系的一些定理．它们对后来的数学发展产生了深远的影响．一个基本的命题是：设平行四边形ACDF(如图2)被对角线CF分成两个三角形ACF和DCF，则平行四边形(面积)是每个三角形(面积)的两倍．卡瓦列里这样证明：先作EF=CB，再作HE∥CD，BM∥CD，则HE=BM，则△ACF中所有线段与△DCF中所有线段对应相等，从而两个三角形相等，因而平行四边形ACDF中所有线段之和等于每个三角形中的和的两倍．用类似的但有更大难度的方法，卡瓦列里进一步证明了平行四边形内线段平方的和等于每个三角形内线段平方和的三倍．利用这一命题，易证圆锥的体积是其外接圆柱体积的三分之一，抛物线弓形是其外接矩形面积的三分之二等．这些都是阿基米德已得出的结果，但卡瓦列里采用统一的方法来处理，不仅使许多利用穷竭法勉强解决的问题，到来21世纪可以很方便地求解，如椭圆面积和球体积等，而且使认识深化，得出了更深刻的结果．卡瓦列里沿处理构成平行四边形的线段的幂和组成平行四边形的三角形内相应线段的幂的比，不断前进：他已求出两组线段之和的比为2∶1；线段平方和之比为3∶1；接着又求出两组线段立方和之比为4∶1；4次幂和之比为5∶1(在此基础上他求出抛物线弓形绕其弦旋转而成的立体的体积)；线段的5次幂和之比为6∶1；6次幂和之比为7∶1等等；最后，两组线段的n次幂和之比为(n+1)∶1．即得出

按他的平面图形由线段构成的思想，Σa表示一个以a为边长的正方形的面积；类似地，Σa2表示一个以Σa为截面(以a为边长)的正方体的体积，因而有

并验证了n=5，6，…，9的情况，n=1，2的情况已为阿基米德所证明，阿拉伯人已知n=4的情况．卡瓦列里的工作是前人工作的推广和统一化．虽然在卡瓦列里之前，费马和罗贝瓦尔用别的方法也得到了这一结果，但1639年他第一个公开发表了这一公式，对17世纪无穷小分析的发展起了重要的推动作用．可以说这是在无穷小分析中指出更一般的代数运算法则的可能性的第一个定理．后来由牛顿和莱布尼茨提出而成为积分学的基础．

由此公式出发，卡瓦列里立即证明了在单位区间上，曲线y=xn(n为正整数)下的图形面积为

这个图形围绕“弦”旋转而成的立体体积为

卡瓦列里极大地推进了不可分量方法，不仅把它视为发现的方法，也试图使它成为证明的方法．这样一来，就必须按数学证明的基本要求，使概念严格化，即产生了这样一个问题：不可分量究竟是什么？

卡瓦列里了解这一问题的复杂性，因而想建立一种独立于数学基本要求的方法，使得无论概念是怎样形成的，这种方法都是有效的．他甚至认为，严格性是哲学的事，而不是几何学的事．卡瓦列里没有肯定连续量可以分解为他并没有给出明确定义的不可分的元素，他也没有讲清楚它们究竟是实在的还是潜在的无穷小量．

卡瓦列里从未解释过没有厚薄的不可分量是怎样构成面积和体积的，但在许多场合，他曾把不可分量方法和运动的观点联系起来，认为面积和体积可以看作是由不可分量的运动产生出来的．不过他并没有将这种有启发性的观点发展成为几何方法，这一点为他的后继者托里切利所实现，结果产生了牛顿的流数法．卡瓦列里的不可分量在沃利斯的《无穷算术》中有所应用，在牛顿和莱布尼茨的数学思想中也有所反映，如前者的“瞬”概念和后者的“微分”概念中就有不可分量的影子．卡瓦列里的思想，对微积分的发展起了巨大的启发作用．

当然卡瓦列里的不可分量方法与微积分尚有较大的距离，主要表现在：(1)没有极限概念；(2)没有采用代数或算术方法，而它们是定义微积分的前提之一；(3)过于强调面积和体积的比而不是直接求积．与阿基米德相比，卡瓦列里在求积方法的统一性上迈出了决定性的一步；与牛顿、莱布尼茨相比，卡瓦列里可以说是他们的直接前驱之一．因而，卡瓦列里的工作是由古希腊人的方法向现代微积分过渡的一个不可缺少的环节．正如莱布尼茨在给曼弗雷迪的一封信中所说：“几何学中的卓越人物、完成了这一领域中义勇军任务的开拓者和倡导者是卡瓦利里和托里切利，后来别人的进一步发展部得益于他们的工作．”

图不可分量方法中学数学试验教材

卡瓦列利运用上述定理求得了许多平面图形的面积和立体图形的体积，其中包括球体积。中学数学试验教材之前的很长时间里，我国的立体几何教材一直采用卡瓦列利的方法来推导球体积公式。

事实上，中国古代著名数学家祖冲之、祖暅父子就提出“幂势既同，则积不容异。”即“等高处截面面积相等，则二立体的体积相等。”的定理，并由此严格推导出球体体积的计算公式。祖氏父子对该原理的发现和运用要比卡瓦列利早一千年。故又被称为“祖暅原理”。

卡瓦列里的出现对米开朗琪罗的影响

卡瓦列里的出现在米开朗琪罗的艺术创作中，发挥了十分重要的作用。米开朗琪罗把卡瓦列里的雕像当成一种重要的艺术元素，他将人物的动态内容融入到艺术中，使之情感丰富、生动形象。他吸收了卡瓦列里的艺术被发挥出来，给人们以新鲜视角：他把卡瓦列里的立体效果变得更加浑然天成、一气呵成，形成非常独特的视觉效果。此外，他还注意到卡瓦列里相当大的几何变化，以及精确的形状和细节，用来装饰他的作品，表现出自然世界的多变性和节奏感。卡瓦列里的出现不仅影响了米开朗琪罗的艺术风格，也使他的艺术创作更加精巧、细腻、出色。

卡瓦列里是男是女

卡瓦列里(Cavalieri，Francesco Bonaventura 1598~1647)是意大利数学家，积分学先驱者之一。 1598年生于米兰，1647年11月30日卒博洛尼亚。

17世纪意大利数学家卡瓦列里给出了卡瓦列里原理与我国古代数学家在5世纪时给出的原理是一样的

卡瓦列利原理

即祖暅原理。在数学上，卡瓦列利以他的不可分量方法而闻名。这个方法的基本思想是：线是有无穷多个点构成的，面是由无穷多条线构成的，立体是由无穷多个平面构成的。点、线、面分别就是线、面、体的不可分量。在《几何学》第7卷定理1，卡瓦列利通过比较两个平面或立体图形的不可分量之间的关系来获得这两个平面或立体图形的面积或体积之间的关系，这就是著名的卡瓦列利定理（又称卡瓦列利原理）。

中国古代著名数学家祖冲之、祖暅父子早就提出“幂势既同，则积不容异。”即“等高处截面面积相等，则二立体的体积相等。”的定理，并由此严格推导出球体体积的计算公式。祖氏父子对该原理的发现和运用要比卡瓦列利早一千年。故又被称为“祖暅原理”。